Důležitou oblastí hospodaření a výroby je oblast zásob a zásobování. V této oblasti může být umrtveno obrovské množství prostředků. Tyto prostředky jsou svým způsobem zmrazené a nepřinášejí užitek. Ovšem z druhé strany nedostatek zásob vede ke ztrátám z deficitu a také ty mohou být velmi citelné.
Definice 6.1.
Zásobou rozumíme všechno to, nač existuje poptávka a co je v určité době vyloučeno ze spotřeby.
Hovořit lze o zásobách finančních, materiálních, pracovních, zásobách výrobních kapacit apod. V této kapitole budeme používat termín 'zásoba' pouze pro materiální zásoby.
Lze hovořit o různých příčinách vzniku a existence zásob. Proč vznikají zásoby?
Za prvé - hlavní příčinou tvorby zásob je nutnost zabezpečit nepřetržitý výrobní proces.
Za druhé - další příčinou je periodičnost výrobního cyklu (např. kvůli technologii výroby se vyrábí nejprve dva měsíce červené dlaždičky, pak tři měsíce modré ,protože však je spotřeba plynulá, musím je mít na skladě pořád).
Za třetí - zásoby vznikají jako důsledek zvláštností přepravy od výrobce ke spotřebiteli. S výjimkou elektřiny a potrubní dopravy žádná doprava neprobíhá spojitě. (Například přeprava ropy tankery).
Za čtvrté - z různých příčin může být rytmus výroby jiný než je rytmus spotřeby (potraviny - rostou a sklízejí se pouze v létě, jíme celý rok).
Základní optimalizační úloha, která vzniká v oblasti teorie zásob, je úloha o sladění dodávek a uskladnění zásob. V úloze řízení zásob tedy figurují dvě základní složky nákladů. Jedna z nich se nachází v přímé a druhá v nepřímé závislosti na velikosti parametrů systému. Náklady na dovoz zboží při zmenšení intervalu mezi dodávkami rostou, ale náklady na uskladnění rostou při zvýšení objemu jednotlivé dodávky.
Náklady na uskladnění se skládají z:
- nákladů na amortizaci objektů,
- poplatků za skladovací plochy jiných firem, osob a organizací
- udržování zařízení,
- nákladů na inventarizaci a evidenci,
- mezd personálu apod.
Model zásob Willsona.
Willsonův model zásob je založen na výběru konstantní velikosti objednávky. Cílem operace je minimalizovat náklady na realizaci objednávky a na její uskladnění. V modelu Willsona předpokládáme:
1.Úroveň zásoby se snižuje rovnoměrně v souladu s rovnoměrně přicházejícími požadavky. V případě, že zásoba je vyčerpána, je odeslána objednávka na další dodávku.
2.Objednávka je realizována okamžitě, t.j. doba jejího plnění je nulová a úroveň zásob je uvedena do původní výše.
3.Náklady na realizaci objednávky nezávisí na objemu dodávky a tvoří hodnotu "K".
4.Náklady na uskladnění jednotky zásoby za časovou jednotku jsou konstantní a činí "s".
Proces realizace objednávek a změny úrovně zásob v modelu Willsona nejlépe ukazuje obrázek 33.
Náklady na řízení zásob v průběhu jedné periody L můžeme vyjádřit následujícím vztahem
LC = K + s * (q/2) * (q/v) , kde
q - velikost dodávky,
v - intenzita spotřeby
(q/v) - délka periody
(q/2) - střední zásoba
Jestliže tento vztah vydělíme délkou periody, získáme náklady na jednu časovou jednotku:
L = ( K * v ) / q + ( s * q ) / 2
Abychom získali vztah pro optimální velikost dodávky, můžeme využít znalosti diferenciálního počtu. Vypočteme první a druhou derivaci a najdeme minimum funkce:
dL/dq = - (K * v)/ q2 + s/2 ; d2L/dq2 > 0.
Položíme první derivaci rovnu nule a získáme hodnotu extrému
q* = sqrt([ ( 2 * K * v) / s ]).
Nyní můžeme určit optimální interval mezi dodávkami
T* = sqrt([ (2 * K ) / ( s * v ) ]).
Z těchto základních vztahů zjistíme i celou řadu jiných parametrů jako jsou celkové optimální náklady, optimální počet dodávek, optimální střední zásobu apod.
Příklad.
Při výstavbě mostu o délce 500 metrů přes vodní nádrž jsou používány speciální pruty z vysoce pevné oceli (130 kg/m). Doba výstavby mostu má být 130 dnů, spotřeba prutů je po celou dobu výstavby rovnoměrná. Pruty jsou dopravovány na stavbu nákladním automobilem o nosnosti 5 tun, který nemusí být plně naložen. Cena jedné dodávky i s nakládkou a vykládkou je 100 Kčs. Náklady na uchování tyčí jsou dány nutností výstavby skladu a činí 11 Kčs denně za jednu tunu tyčí.
Určete optimální velikost dodávky, interval mezi dodávkami a náklady za celou dobu výstavby.
Řešení:
Vypočteme nejprve celkovou spotřebu ocelových prutů
500 m * 130 kg/m = 65 000 kg = 65 tun
Dosazením do vzorců získáme výsledky
q* = 3.01511 tun T* = 6.03022 dnů L* = 4 311.61 Kčs
Výpočet s takovou přesností je nesmyslný, protože nikdo nebude vážit pruty na gramy a ani počítat setiny dne. Rozumné bude vozit tři tuny jednou za šest dnů a náklady pak budou 4 330 Kčs. Pokud bychom měli pocit, že je lépe jezdit s plně vytíženým automobilem, pak nás výpočet rychle vyvede z omylu. Při plně vytíženém automobilu budou celkové náklady 4 875 Kčs, což je o 12.5% vyšší než při optimálním způsobu řízení zásob.
Základní vlastnosti modelu Wilsona.
1.V případě stacionární, determinované poptávky je minimum nákladů dosaženo při rovnosti nákladů na tvorbu zásob a na jejich udržování.
2.Velikost optimální dodávky je úměrná druhé odmocnině intenzity spotřeby.
3.Centralizované zásoby se jeví jako ekonomicky výhodné
4.S růstem spotřeby rostou i absolutní zásoby.
Model Willsona má svá úskalí. Jedním z nich je předpoklad o okamžité realizaci objednávek. Předpokládejme, že existuje určitá doba † ,která uplyne od objednávky do její realizace. Abychom vyloučili deficit (nedostatek) materiálu, musíme jej objednat v době, kdy jej ještě máme na skladě. Zásoba, která tímto způsobem vzniká, je zásobou pouze zdánlivou.
Příklad.
Strojírenský závod potřebuje pro svoji výrobu litinové bloky - celkem 9 000 ročně. Náklady na realizaci objednávky jsou 200 Kčs, náklady na uskladnění 40 Kčs ročně. Průměrná doba realizace objednávky je 15 dnů.
Určete optimální rozměr dodávky, její periodicitu, dobu objednávky a minimální počáteční zásobu.
Řešení.
Vypočteme velikost objednávky podle vzorce
q* = sqrt(( 200 * 2 * 9000)/40) = 300
T* = 300 / 9 000 = 1/30 (roku) = 12 dnů
Vztah pro rezervní zásobu je následující
r = † * v - (†/T*) * q*
r = (1/24)* 9000 - [(1/24)/(1/30)] * 300 = 375 - 300 = 75 kusů
15 dnů = doba realizace objednávky
Počáteční zásoba musí tedy být
I0 = 375 kusů
momenty objednávek jsou pak v časech 0,12,24,36 atd. Minimální náklady na objednávky a úschovu litinových bloků budou 12 000 Kčs ročně.
Pokud se jedná o kusový materiál je situace trochu jiná. Jedná se o diskrétní funkce a musíme hledat jejich minimum. K tomuto účelu můžeme využít pojmu celá část reálného čísla, který jsme zavedli v lineárním celočíselném programování.
q* = [ 0.5 + sqrt( 0.25 + 2 * K * v / s ) ]
T* = [ 0.5 + sqrt( 0.25 + 2 * K / (v * s )) ]
Důležitou roli zde hrají předpoklady modelu. Může obecně nastat několik situací. Vždy ale vznikají nové náklady, které jsou vyvolány deficitem. Může se jednat o prostoje, ztrátu klientů apod.
V nejjednodušším případě předpokládáme, že náklady jsou úměrné střední hodnotě deficitu a době jeho existence:
LC = K + s * ( q - y )2 / ( 2 * v ) + d * y2 / ( 2 * v )
y - velikost deficitu
d - koeficient úměrnosti
Druhým nejběžnějším požadavkem je, že ztráty z deficitu jsou přímo úměrné střední hodnotě ztracených požadavků
LC = K + s * q2 / ( 2 * v ) + d * v * ( t - q/v )2 / ( 2 * t )
t = t1 + t2
t1 - doba , po kterou existují zásoby
t2 - doba , po kterou existuje deficit, a požadavky na zboží nejsou uchovávány
Charakteristické hodnoty těchto modelů tvoříme analogicky. Je možné je i kombinovat. Poměrně jednoduchá je také situace se zásobami více druhů, pokud funkce nákladů je aditivní.