Operační výzkum 

Autor: Doc.RNDr.Milan BERKA,CSc.

Předmluva. 

Publikace, kterou nyní dostáváte do rukou, je již druhým, podstatně přepracovaným vydáním publikací Operační výzkum I , a Operační výzkum II Publikace vznikla na základě desetileté přednáškové činnosti autora na Stavební fakultě Vysokého učení technického v Brně, především na oboru Ekonomika a řízení stavebnictví. 

Proti předchozímu vydání doznal publikovaný text změny především ve struktuře a návaznosti látky,jsou zde zahrnuty některé nové metody a postupy, které autor publikoval v posledních letech. Za uplynulé období nesmírně stoupl podíl a význam výpočetní techniky, především pak osobních počítačů, počítačových sítí a i to se nemohlo neodrazit na obsahu látky. 

Každá kapitola přesto do značné míry zůstává samostatnou a ucelenou teorií optimalizace a byly k ní vždy připojeny i odkazy na odpovídající literaturu. Text je doplněn řadou funkčních příkladů, realizovaných v architektuře klient/server, v jazyce JAVA a JavaScript. Někteří autoři se sice tváří, že doplňování publikace tohoto typu programy není vhodné, ale já si myslím něco jiného a vážený čtenář ať toto laskavě posoudí sám. V poslední kapitole jsem doplnil odkazy na nejrůznější síťové zdroje, což pravděpodobně odborníkům v mnohém usnadní hledání a práci.

Dovoluji si upozornit čtenáře jednak na to, že v mnoha oblastech není ještě zcela sjednoceno názvosloví a také na to, že je často pro operační výzkum používán i termín "operační analýza", což podle mého názoru odráží pouze část problematiky operačního výzkumu a proto tento termín nepovažuji za zcela výstižný. 

Autor.

1. Teoretické základy operačního výzkumu. 

1.1 Co je to operační výzkum a co zkoumá? 

Operační výzkum vznikl jako samostatný vědní obor především díky praktickým potřebám ve vojenské oblasti. V souvislosti s nebezpečím, které pro Anglii ve třicátých letech začaly představovat letecké síly fašistického Německa, byly ve třicátých letech vyčleněny značné finanční prostředky na vypracování efektivní soustavy vyhledávání nepřátelských letadel. Tyto práce byly započaty na východním pobřeží Velké Británie, asi 100 km na sever od ústí řeky Temže. Během tří let byla vyzkoušena technická dokonalost tohoto systému. 

Samotný termín Operační výzkum byl pravděpodobně poprvé použit v roce 1938 právě ve Velké Británii. 

Po vstupu USA do druhé světové války se metody operačního výzkumu začaly využívat i ve vojenském námořnictvu. Jednalo se v podstatě o vývoj efektivních metod protiponorkové války. Jedním z vedoucích tohoto projektu byl P.M.Morse z Technologického institutu v Massachusetts. Výrazným byl i podíl firmy Bell Telephone Laboratories. Ke konci druhé světové války měla již tato skupina kolem 70 pracovníků a zabývala se organizací operací vojenských jednotek a to jak pozemních vojsk, tak i jednotek týlových. 

Mimo praktických výsledků těchto prací bylo důležité i to, že vědečtí pracovníci, kteří se na těchto pracích podíleli, uviděli, že se v podstatě jedná o začátek rozvoje nového vědního oboru. Výsledky těchto výzkumů se ukázali velmi užitečné v mnoha oblastech techniky a ekonomiky. 

Operační výzkum se zabývá především následujícími směry: 
  1. Tvorbou a popisem různých druhů jednání, které mohou vést k dosažení vytyčeného cíle. 
  2. Vytvářením modelů operací, které matematicky přesně popisují cíle operací,proces a výsledek provedení operace. 
  3. Hodnocením a srovnáváním efektivnosti konkurenčních způsobů jednání a chování v rámci daného modelu. 
  4. Vyjasněním pojmu optimálního výběru jednání a tvorbou matematických metod jeho realizace. 
Matematické modely operačního výzkumu se využívají především v následujících oblastech : 

vojenská činnost,ekonomika,projektování složitých technických a informačních systémů,plánování a řízení,rozhodovací procesy, teorie a metody řízení zásob apod. 

Základem matematických metod v operačním výzkumu jsou především: 

lineární algebra,teorie diferenciálních rovnic,matematická analýza, matematické programování, teorie grafů a sítí, teorie optimálního řízení, teorie užitku, teorie hromadné obsluhy, teorie her, simulace a imitační modelování apod. 

Převážná většina prakticky použitelných metod není v praxi myslitelná bez využití dokonalé soudobé výpočetní techniky. Z tohoto důvodu značnou pozornost věnujeme algoritmizaci daných metod a i některým programovým realizacím.

1.2 Co je vlastně operace a jak se popisuje? 

Definice 1.1 

Operací nazýváme konkrétní množinu jednání a chování osob,automatů či jiných subjektů, které směřují k dosažení vytyčeného cíle. 

Definice 1.2 

Operující (operační) stranou nazýváme subjekt operace. 

Definice 1.3 

Operační výzkumník je osoba nebo skupina osob, která provádí analýzu oparace, doporučuje operující straně optimální řešení, ale nenese rizika operace a nerozhoduje o použití strategií. 

Definice 1.4 

Prvky množiny jednání a chování operujících stran v operaci nazýváme strategiemi.Tyto faktory v operaci mohou být kontrolovatelnými (pokud o jejich použití rozhoduje operující strana s kterou se v oblasti výzkumu ztotožníme) nebo nekontrolovatelnými (pokud o jejich použití rozhoduje jiná operující strana, která se účastní operace) nebo náhodnými (pokud se jedná např. o množství dešťových srážek). 

Operace se nejčastěji popisuje jako matematický model a proto musí zadávat, alespoň přibližně, kvantitativní popis operace.

1.3 Co je to model, matematický model a jak se tvoří modely? 

Jedinou možnou metodou studia složitých jevů reálného světa je metoda studia zjednodušených modelů. Ve světě, který nás obklopuje a kterého jsme i my nedílnou součástí, všechny jevy souvisí mezi sebou a z tohoto důvodu celkový a přesný popis celého reálného světa není prakticky možný. Každý model je v tomto směru zjednodušeným odrazem skutečnosti a zachycuje pouze ty stránky daného jevu, které považujeme za podstatné. 

Například pokud budeme zkoumat běžný pohyb v gravitačním poli Země, není asi nutné počítat s přitažlivostí Měsíce, Slunce nebo středu naší galaxie. 

Každý model ve své podstatě předpokládá určitou idealizaci konkrétního jevu a určitou abstrakci. Jinými slovy,úlohu musíme určitým způsobem zjednodušit a zobecnit. 

Například, pokud řešíme školní úlohu o tom, že z Prahy jede vlak do Brna, pak obyčejně předpokládáme, že tento vlak jede rovnoměrně (pokud jel někdo vlakem, pak ví ,že to není pravda) a to je tedy idealizace reálného světa, a současně provádíme abstrakci ve dvou směrech. Jednak je jedno pro řešení úlohy, zda jede z Prahy nebo z Košic a jednak je jedno, zdali je to vlak, auto, letadlo nebo kolo. Ani idealizace a ani abstrakce však nesmí zajít příliš daleko od podstaty a obsahu úlohy. Jestliže se tak stane, model ztratí podstatné rysy modelované skutečnosti a výsledky použití modelu nebudou odpovídat realitě. Tím pro nás model ztratí smysl. Z druhé strany, pokud se budeme snažit o to, aby model byl maximálně přesný, bude příliš složitý a modelování opět ztratí smysl, protože se daný model nebude dát řešit. 

Z těchto hledisek je umění modelovat a vytvářet modely vlastně uměním hledání kompromisů mezi jednoduchostí a přesností. 

Rozlišujeme různé typy modelů, jako jsou obrázky, schémata, fyzikální modely skutečnosti (maketa letadla v aerodynamickém tunelu,model říčního koryta nebo sypané hráze v laboratoři apod.) 

aj. 

Významným přínosem pro oblast modelování bylo využití matematických metod a tedy tvorba matematických modelů. Využívání těchto druhů modelů umožnilo i využívání výpočetní techniky pro jejich řešení. Dá-li se jev popsat matematickými prostředky, pak vnitřní podobnost různých jevů se projeví v tom, že se dají popsat stejnými prostředky. Z tohoto hlediska má matematické modelování celou řadu výhod: 

  1. OBECNOST - Jedním matematickým modelem je možné popsat celou řadu jevů. 
  2. STRUČNOST A PŘESNOST - V matematických modelech bývá implicitně obsaženo mnoho informcí, které se z něj dají odvozovat matematickými prostředky. Toto odvození bývá přesnější a bezpečnější než odvození slovní. 
  3. SNADNÁ OVĚŘITELNOST PŘIJATÝCH HYPOTÉZ - Podle povahy předpokládaných vztahů mezi veličinami je možné použít různých matematicky přesných metod. 

Jednou z nejdůležitějších oblastí operačního výzkumu je oblast zkoumání dějů a jejich matematického popisu. Z tohoto hlediska si připomeneme postup při tvorbě matematického modelu: 

1._Sestavení_kvalitativního_modelu. 

V této části modelování musíme nejprve na objektu modelování vyčlenit systém,t.j. určit prvky systému, které nás budou především zajímat, dále určit cíl našeho výzkumu a popsat vztahy mezi jednotlivými prvky systému, určit rozměr úlohy, určit parametry (strategie) apod. 

2._Sestavení_matematického_modelu. 

Zde je nutné nejprve vybrat vhodné matematické prostředky pro popis prvků vybraného systému a vztahů mezi prvky. Určíme matematickou oblast, t.j. např.lineární algebru nebo diferenciální rovnice a následně provedeme přepis závislostí do zvoleného matematického prostředí modelu. Musíme také matematicky omezit možný rozsah změn parametrů modelu. 

3._Výzkum_chování_modelu_z_hlediska_možných_změn_parametrů. 

Tato fáze je fází řešení matematického modelu. Především si všímáme vlivu malých změn na chování řešení modelu. Pokud malé změny parametrů vyvolávají neadekvátní změny řešení,je model nestabilní a proto i nepoužitelný. 

4._Konfrontace_výsledku_výpočtu_se_skutečností. 

Jestliže výsledky výpočtu neodpovídají praxi, je model nepoužitelný a je nutné se vrátit k fázi 2 nebo fázi 1 modelování a celý postup opakovat. 

První a čtvrtá fáze modelování se neobejde bez účasti odborníka té které specializace, která odpovídá profesionální orientaci modelu. Druhá a třetí fáze naopak vyžadují dobrou znalost matematických metod. Z tohoto je vidět, že proces modelování má navíc silný interdisciplinární charakter a i z toho plyne jeho dostatečná složitost. 

Dalším krokem by měla být interpretace získaných výsledků,t.j. jejich správný výklad, vypracování doporučení a samotné uvedení výsledků do praxe. Z tohoto pohledu vidíme, že matematické metody jsou uplatňovány pouze v některých fázích procesu modelování a jistě jej nemohou nahradit celý. Nicméně jejich použití přináší celou řadu výhod: 

objektivnost,jednoduchost,obecnost,čistotu úsudku a možnost jednoduchého ověření všech předpokladů. 

Všechny fáze modelování si ukážeme blíže při tvorbě některých matematických modelů typických úloh. 

1.4 Co je podstatou vědeckého přístupu k modelování? 

Cílem vědy, jako takové, je především pochopit a objasnit to, co se děje v reálné přírodě,t.j. zkoumat jevy, které nás obklopují a také je umět předpovídat. Věda začíná přesně organizovaným pozorováním zkoumaného jevu. Poznatky, získané pozorováním vedou vědce k určitým domněnkám a teoriím, které spojují fakty, získané v procesu pozorování. V našem případě spojením těchto faktů vzniká model. Dále se tyto domněnky, teorie a modely rozvíjejí samostatně, bez pomoci pozorování,na základě různých logických a v případě matematických modelů matematických pravidel, intuice a jiných znalostí. Z pragmatického pohledu je nejdůležitější vlastností nové vědecké teorie to, že umí určit, co se stane při různých předpokladech nebo podmínkách. Prostě řečeno, umí předpovědět budoucnost jevu na základě současného stavu. Z tohoto pohledu je pak zřejmé, že se teorie prověřuje právě tímto způsobem. Pokud teorie v určitých oblastech přestává přesně odpovídat určitým jevům, je první lidskou snahou ji "opravit" nebo "doplnit". Tím se teorie na určitý čas zachrání, ale obyčejně se stává postupně příliš složitou, obsahuje řadu výjimek. Platí obecně zásada, že co je příliš složité,obyčejně není pravda. Proto jsou za určitý čas teorie nahrazeny jinými. 

Dovolím si připomenout některé myšlenky A.Einsteina : 

"Věda musí začínat a končit fakty.Vědec musí být především pozorovatel a jeho prvním kriteriem musí být praxe." 

Druhým kriteriem je vnitřní dokonalost a krása teorie. Z pravdivostního hlediska jsou následující dva modely pravoúhlého trojúhelníka naprosto rovnocené (jedná se o Pythagorovu větu): 

1.     C2 = A2 + B2 

B2*(C+B) + A2*(C+A) 

2.     2 * C - A - B = (C+A) * (C+B) 

Je zřejmé, že co se týká pravdivosti,mají tyto modely stejný charakter. Z prvního výrazu je možné odvodit druhý tak, že jej rozepíšeme do dvou výrazů: 

C2 - A2 = B2 a C2 - B2 = A2 

a dále po úpravách a sečtení dostaneme výraz 2. 

Druhý výraz vynásobíme jmenovatelem zlomku ( strany trojúhelníka jsou kladné) a po úpravách dojdeme k tvaru: 

(C2 - A2 - B2)*(2 * C + A + B) = 0 

Obsah druhé závorky je opět kladný a proto musí platit výraz 1. 

Pravdivostní ekvivalentnost dvou výše uvedených výrazů jsme tedy dokázali, je ale zřejmé, že z hlediska jednoduchosti a krásy dáme přednost klasické formulaci problému. 

Charakteristickým rysem vědecké metody zkoumání je pochopitelně její periodičnost a návrat k experimentu a praxi. 

1.5 Kde používáme modely a proč? 

V celé řadě případů je možné zkoumat daný děj pouze na modelu. Příčin tohoto stavu je obecně víc. Jednou z nich je i lidskost - nelze například zkoumat zrak pacienta a poškození nervových vláken tak, že pacientovi vyjmu oční bulvu a budu mu postupně skalpelem odřezávat nervy a zjišťovat zda ještě vidí a jak. V této situaci je model pouze tím, s čím mohu experimentovat. Podobná situace je i v ekonomice. Nemohu si dovolit provádět experimenty typu, že od zítřka začnu rozdávat maso zdarma a zkoumat, co to udělá, nemohu si "zkoušet" na ekonomické situaci státu nějaké neprověřené experimenty, může to přijít obyvatelstvo příliš draho. Další příčinou může být i nedostupnost objektu zkoumání. Těžko mohu letět na "návštěvu" k "černé díře" v kosmu, abych zde ověřoval relativistickou teorii gravitačního pole. Podobně nemohu sledovat vývoj vesmíru miliardy let, abych prověřil některé kosmologické teorie. 

V těchto všech případech mi pouze modelování umožňuje získat potřebné poznatky a výsledky. Je třeba ovšem říci, že modelování nám může hodně poskytnout i v případě, že objekt je dostupný a experimentovat by se s ním obecně dalo. Umožňuje nám šetřit prostředky a čas.